Основные понятия ФНП

Пусть некоторое множество точек -мерного пространства с координатами . Если каждой точке поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что на множестве задана функция переменных .

При этом множество называется областью определения функции .

Например, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с размерами , , является функцией трех переменных , , , определенной в первом октанте, т.е. на множестве

Объем конуса с радиусом основания и высотой является функцией двух переменных , , определенной в первом квадранте, т.е. на множестве :

Заметим, что для функции двух переменных аргументы удобнее обозначать буквами и (вместо и ), а для функции трех переменных - буквами , и ( вместо , и ).

Если у функции двух переменных зафиксировать одну из переменных, например положить , то мы получим некоторую функцию одной переменной : .

Если при этом функция имеет производную в точке , то ее значение называется частной производной по функции в точке и обозначается или .

Зафиксировав переменную , аналогично придем к понятию частной производной по от функции двух переменных .

Для функции любого числа переменных естественно ввести частные производные по какому-либо из аргументов путем предварительного фиксирования всех остальных аргументов.

Пример 1. Найдите частные производные функции .

Решение.

, .

Пример 2. Найдите частные производные функции .

Решение.

Обобщением понятия частной производной по какому-либо из аргументов ФНП является понятие производной по направлению.

Если направление на плоскости (в трехмерном пространстве) образует с осями координат углы и (, и ), то производной функции в точке по направлению называется выражение

Пример 3. Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

Решение.

Вычисляем частные производные функции в произвольной точке

, , ,

а затем в точке :

, ,

Находим направляющие косинусы вектора :

, .

Тогда

Легко заметить, что частные производные являются производными по направлению соответствующей оси координат: есть производная функции по направлению оси , есть производная функции по направлению оси , есть производная функции по направлению оси .

Обратим внимание на то обстоятельство, что выражение для производной по направлению можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: вектора - единичного вектора заданного направления

и некоторого вектора

Вектор с координатами , , принято называть вектором градиента функции или просто градиентом этой функции и обозначать .

Пример 4. Найдите градиент функции в произвольной точке.

Решение.

С понятием частной производной легко по аналогии с производной и дифференциалом функции одной переменной связать понятие частного дифференциала:

, , .

Здесь , , - частные дифференциалы функции по переменной , и , соответственно, а , , - приращения этих независимых переменных. Однако для ФНП можно ввести еще одно понятие - полного дифференциала - суммы частных дифференциалов по всем независимым переменным:

или .

Пример 5. Найдите полный дифференциал функции в произвольной (допустимой) точке.

Решение.

Полный дифференциал ФНП по аналогии с функцией одной переменной может применяться для приближенного вычисления значений функций нескольких переменных с помощью приближенной формулы , где - приращение функции при переходе из точки к точке , - полный дифференциал функции в точке , соответствующий приращениям , , ее аргументов.