Отыскание интервалов

выпуклости и вогнутости

и точек перегиба графика функции

Определение. Говорят, что график функции является выпуклым (вогнутым) в точке (в точке ), если в некоторой окрестности точки он лежит ниже (выше) касательной, проведенной к графику в точке .

В точке график вогнутый.

В точке график выпуклый.

Определение. Говорят, что график функции является выпуклым (вогнутым) в некотором промежутке , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого промежутка.

Достаточное условие выпуклости или вогнутости графика функции дает следующая теорема. Если вторая производная функции отрицательна (положительна) в некотором интервале, то график функции - выпуклый (вогнутый) в этом интервале.

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и ее график имеет в этой точке касательную хотя бы вертикальную (что соответствует наличию производной у функции в точке , хотя бы бесконечной).

Если в этом случае точка отделяет выпуклую часть графика от вогнутой, то она называется точкой перегиба графика функции.

Необходимое условие существования точки перегиба

Теорема. Если существует вторая производная в точке перегиба графика функции, то она в этой точке равна нулю, т.е. .

Достаточное условие существования точки перегиба

Теорема. Если вторая производная при переходе через точку меняет знак, а график функции имеет в точке касательную, хотя бы вертикальную, то точка является точкой перегиба графика функции .

Отсюда вытекает следующий порядок исследования графика функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

1. Находим область определения функции, если она не задана.

2. Находим вторую производную функции.

3. Находим критические точки первой производной функции, т.е. точки из области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

4. Выясняем знак второй производной слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и вогнутости и наличии точек перегиба.

5. Находим значения функции в точках перегиба.

Заметим, что результаты вычислений удобно оформить в виде таблицы.

Пример. Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .