Понятие производной функции.

Механический, геометрический

и экономический смысл производной

Пусть функция определена на промежутке . Возьмем произвольную точку . Дадим значению приращение , тогда функция получит приращение .

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Производная функции имеет несколько обозначений: , , , .

Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, .

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Если функция дифференцируема на промежутке , то каждому из этого промежутка поставлено в соответствие, кроме значения функции , некоторое число, равное производной функции в этой точке , т.е. на промежутке возникает, кроме , еще одна функция , которая называется производной функцией от данной функции или просто производной от этой функции: .

Из задачи о скорости прямолинейного движения следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : .

Из задачи о касательной к графику функции вытекает геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. .

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .