Определение ставки процентов

Для того чтобы найти ставку i, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида

или

которые эквивалентны двум другим

или (1)

В этих уравнениях неизвестным является процентная ставка i. Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: метод линейной интерполяции, метод Ньютона-Рафсона и др. Рассмотрим метод линейной интерполяции.

Найдем с помощью прикидочных расчетов нижнюю (i_н) и верхнюю (i_в ) оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (1) различных произвольных значений i и сравнения найденного значения s_n;i или a_n;i с правой частью выражения (1). Далее корректировка нижнего значения ставки производится по следующей интерполяционной формуле:

(2)

в которой S_Н и S_в - значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок i_н и i_в соответственно.

Полученное значение ставки проверяют, подставляя его в левую часть исходного уравнения и сравнивая результат с правой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (2), заменив в ней значение одной из приближенных оценок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, и соответствующее ей значение множителя наращения (или приведения). Рассмотрим методику нахождения процентной ставки на конкретном примере.

Пример.

Для создания фонда на замену оборудования фирме за 10 лет необходимо накопить 2 млн. р.. Ежегодно она может вносить в банк для этой цели 100 тыс. р.. Под какую ставку сложных процентов необходимо вкладывать эти деньги, чтобы накопить требуемую сумму в указанный срок?

Решение.

Согласно формуле (1)

s_n;i = [(1 + i)ⁿ - 1] / i = S / R = 2000000 / 100000 = 20.

Определим s_n;i для нескольких произвольных значений процентных ставок. Так для i = 0,14

s_{10; 0,14} = [(1 + i)ⁿ - 1] / i = [(1 + 0,14)¹⁰ - 1] / 0,14 = 19,26.

Для i = 0,15

s_{10; 0,15} = [(1 + i)ⁿ - 1] / i = [(1 + 0,15)¹⁰ - 1] / 0,15 = 20,33.

Так как 19,26 < 20 < 20,33, то действительное значение процентной ставки лежит в интервале 0,14 < i < 0,15.

Воспользуемся формулой (2) и найдем действительное значение процентной ставки:

i = 0,14 + (20 – 19,26) (0,15 – 0,14) / (20,33 – 19,26) = 0,1469.

Проверим правильность нахождения действительной процентной ставки:

[(1 + i)ⁿ - 1] / i = [(1 + 0,1469)¹⁰ - 1] / 0,1469 = 20,0.

Ответ.

Процентная ставка должна составлять i = 14,69%.