Формулы удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем множитель наращения величине N, в результате получим:

а) для простых процентов тогда

(1)

б) для сложных процентов тогда

(2)

Для случая N = 2 формулы (1) и (2) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов

(3)

б) для сложных процентов

(4)

В практических расчетах для быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения сложных процентов иногда пользуются приближенным расчетом при удвоении инвестиционной суммы, известным как «правило 72». Правило заключается в следующем: если i процентная ставка, выраженная в процентах, то 72/i представляет число периодов, за которое приблизительно исходная сумма удвоится. Это правило дает хорошие результаты для небольших значений i. Так, если годовая ставка сложных процентов i = 12%, то применение «правила 72» дает значение n = 6 лет, а по формуле

n = 6,116 лет, что вполне допустимо для ориентировочных расчетов.

Следует отметить, что в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятичных дробях, а при расчете по «правилу 72» – принимается в процентах.

Существуют и другие правила, с помощью которых можно быстро рассчитать ориентировочный срок удвоения первоначального капитала. В литературе можно встретить «правило 70» , «правило 71» «правило 69»

Пример.

Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов равной 3% годовых. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле. Результаты сравнить.

Решение.

- для случая простых процентов расчет проведем по формуле (3):

_.= 1/ 0,03 = 33,33 лет.

- для сложных процентов и точной формуле (4):

= 0,6931 ln (1 + 0,03) = 23, 45 лет.

- для сложных процентов и приближенной формуле:

n » 0,7 / i » 0,7 / 0,03 » 23,33 лет.

Ответ.

Для случая простых процентов расчет по формуле (3) дает

n = 33,33 лет, для сложных процентов и точной формуле (4)

n = 23, 45 лет, для сложных процентов и приближенной формуле

n » 23,33 лет.

Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.