Страхование жизни

Пример.

Мужчина в возрасте 60 лет заключает договор на страхование жизни сроком на 5 лет. Страховая сумма составляет 30 млн. д. ед. Страховщик предполагает инвестировать страховые взносы под 12% годовых.

Определить величину нетто-ставки для выплаты страховых сумм:

а) в случае единовременной оплаты;

б) в случае годичных взносов в конце года в течение срока страхования;

в) в случае годичных взносов в начале года в течение срока страхования.

Решение.

Обозначим: S₁ = 30 тыс. д. ед., x = 60, n = 5, i = 0,12.

а) Из таблицы 1 для x = 60, l_x = 65130, до возраста l₆₅ = 55048 человек. Для уплаты каждому дожившему до 65 лет по 30 тыс. д. ед. необходим страховой фонд в размере

S = S₁ × l₆₅ = 30 × 55048 = 1651440 тыс. д. ед.

Учитывая, что i = 0,12, достаточно иметь сумму

Р = S / (1 + i) = 1651440 / (1 + 0,12) ⁵ = 937071,4 тыс. д. ед.

Величина страхового взноса в общем виде составит

_nЕ_x = l_{x +n} × S₁ / [l_x (1 + i) ⁿ ] . (1)

Для данного примера

₅Е₆₀ = Р / l_x = 937071,4 / 65130 = 14,388 млн. д. ед.

б) Пусть страхователь платит годовые взносы _nP_x в конце каждого года.

В конце первого года все дожившие до 61 года l_{x +1} = 63260 человек выплатят сумму _nP_x × l_x+1, текущая стоимость которой (_nP_x × l_{x +1}) / (1 + i); на следующий год сумма платежей _nP_x × l_{x +2}, текущая стоимость которой составит (_nP_x × l_{x +1}) / (1 + i) ² и т. д.

Общая текущая стоимость страховых взносов за 5 лет составит

P = _nP_x [(l_{x +1}) / (1 + i) + (l_{x +2}) / (1 + i) ² + … + (l_{x +5}) / (1 + i) ⁵]. (2)

Учитывая (1), текущая стоимость страховых взносов за 5 лет равна

P = S₁× l_{x +n} / (1 + i) ⁿ . (3)

Приравнивая выражения (2) и (3), для годичного взноса получим

_nP_x=S₁×l_{x +n} [(l_x+1)/(1+ i) + (l_x+2)/(1 + i)² +…+ (l_x+n)/(1 + i)ⁿ]^-1/(1 + i)ⁿ

₅P₆₀ = млн.д.ед.

Общая сумма, вносимая страхователем за 5 лет составит

4,355 млн. д. ед. × 5 = 21,775 млн. д. ед.

в) В случае, когда страхователь платит взносы в начале года, текущая стоимость всех взносов в начале первого года равна l_x × _nP_x. Текущая стоимость взносов за второй год (l_x+1 × _nP_x) / (x^-1 + i) и т.д.

Общая текущая стоимость страховых взносов за 5 лет составит

P = _nP_x [l_x + (l_x+1)/(1 + i) +…+ (l_x+n-1)/(1 + i)^n-1] = (S₁ × l_x+n)/(1 + i)ⁿ

Годичный взнос равен

_nP_x = S₁ × l_x+n[l_x + (l_x+1) / (1 + i) +…+ (l_x+n-1) / (1 + i)^n-1]^-1/ (1 + i)ⁿ.

₅P₆₀ =

=3,7627 млн. д. ед.

Общая сумма, вносимая страхователем за 5 лет, составит

3,7627 × 5 = 18,8138 млн. д. ед.