Задача управления запасами

Пусть предприятие должно разработать календарную программу выпуска некоторого вида изделий на плановый период, состоящий из отрезков. Предполагается, что для каждого из этих отрезков имеется точный прогноз спроса на выпускаемую продукцию. Будем считаем, что временем изготовления партии изделий можно пренебречь. Продукция, изготовляемая в течение отрезка t, может быть использована для полного или частичного покрытия спроса в течение этого отрезка. Так как затраты на производство зависят от размера изготовляемой партии, то в некоторых случаях может быть выгоднее произвести продукцию в объеме, превышающем спрос, и хранить излишки, используя их для удовлетворения последующего спроса. Вместе с тем хранение также связано с определенными затратами.

Требуется определить такую программу, при которой общая сумма затрат на производство и на содержание запасов будет минимальной при условии полного и своевременного удовлетворения спроса на продукцию.

Для построения модели введем следующие переменные: х_t - объем выпуска продукции в течение отрезка t, s_t - уровень запасов на конец отрезка t; d_t - спрос на продукцию для отрезка t. Будем считать, что d_t - целые неотрицательные числа. Обозначим затраты на отрезке t в виде c_t (x_t, s_t). Тогда целевая функция имеет вид

.

Предполагая, что переменные x_t, s_tцелочисленные, и для обеспечения полного удовлетворения спроса вводим ограничения:

.

В таком виде задача может быть решена с помощью алгоритма, изложенного выше. Введем обозначения:

- минимальные затраты на n оставшихся отрезков планирования при начальном уровне запасов s;

- объем выпуска, обеспечивающий .

Согласно ограничениям, уровень запасов на конец планового периода равен нулю, поэтому и рекуррентные соотношения Беллмана принимают вид

, ,

где s = 0, 1, …, d₁ + … + d_N;

d_n- s £ x £ d₁+ d₂+…+d_N-s.

Функцию затрат обычно можно выразить в виде

.

В этом случае модели управления запасами делятся на два класса.

К моделям с выпуклыми функциями затрат относят задачи, для которых является выпуклой, является выпуклой.

Такие модели называют моделями с убывающей предельной эффективностью при увеличении масштаба.

Если и вогнуты, то модели называют моделями с вогнутой функцией затрат или моделями с возрастающей предельной эффективностью при увеличении масштаба. Такие модели соответствуют случаям, когда выпуск продукции связан с необходимостью затрат на подготовительные операции или переналадку.

Существенное различие между моделями с выпуклой и вогнутой функцией затрат заключается в том, что при увеличении длительности планового периода оптимальное значение может уменьшаться только при вогнутой функции затрат.