СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Системы массового обслуживания (СМО) с отказами

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Имеется n каналов обслуживания, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ (величина, обратная среднему времени обслуживания t).

Вероятность простоя каналов обслуживания

Требование, поступающее в систему, получает отказ в том случае, когда все узлы обслуживания заняты. Вероятность отказа исчисляется по формуле

Р== .

Относительная пропускная способность, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена, исчисляется по формуле

P=1-P=1-.

Абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, составляет

A=λ Р.

Среднее число занятых каналов

P_обсл.

Доля каналов, занятых обслуживанием, составляет

q=.

СМО с неограниченным ожиданием

В СМО с неограниченным ожиданием заявка, нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, на которую не наложено ограничений ни по длине очереди, ни по времени ожидания. В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому Р=1, Р=0. Для СМО с неограниченной очередью накладывается ограничение <1. Если это условие нарушено, то очередь растет до бесконечности, наступает явление «взрыва».

1. Вероятность простоя каналов:

Р=

2. Вероятность занятости обслуживанием k каналов:

P_k=, 1.

3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов при отсутствии очереди:

P=.

4. Вероятность наличия очереди есть вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов:

P=.

5. Вероятность для заявки попасть в очередь есть вероятность занятости всех каналов, эта вероятность равна сумме вероятностей наличия очереди и занятости всех n каналов при отсутствии очереди:

P_зан =P_п+P_оч =.

6. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

==ρ.

7. Доля каналов, занятых обслуживанием:

q=.

8. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

L=.

9. Среднее число заявок в системе:

М=L+=L+ρ.

10. Среднее время ожидания заявки в очереди:

t=.

11. Среднее время пребывания заявки в системе:

T=t+, T=.

СМО с ожиданием и ограниченной очередью

В системах с ожиданием количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом m, т.е. заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее m заявок. Если число заявок в очереди равно m, то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему не обслуженной.

Системы с ограниченной очередью являются обобщением двух рассмотренных ранее СМО: при m=0 получаем СМО с отказами, при m= CМО с ожиданием.

Вероятность простоя каналов обслуживания

Р₀=.

Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности Р_n_+m того, что в очереди уже стоят m заявок:

Р_отк=Р_n_+m₌.

Относительная пропускная способность есть величина, дополняющая вероятность отказа до 1, т.е. вероятность обслуживания

Р_обсл=1-Р_отк.

Абсолютная пропускная способность определяется равенством

А=λ (1-P_отк)=λ Р_обсл.

Среднее число занятых каналов

==ρР_обсл.

Средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди

L=.

Среднее время ожидания обслуживания в очереди

t=.

Среднее число заявок в СМО

М=L+.

Среднее время пребывания заявки в СМО

T=t+, T= .

Замкнутые СМО

В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации требование поступает в саму систему. Пусть n - число каналов обслуживания, s - число потенциальных заявок, n<s, λ - интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, μ -интенсивность обслуживания,