Эллипс

Определение 1. Геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом.

Выведем уравнение эллипса. Обозначим постоянную величину из определения эллипса 2а, расстояние между фокусами - 2с. Очевидно, а > c. Введем систему координат: ось OX проходит через фокусы, ось OY через середину отрезка, соединяющего фокусы. В данной системе фокусы имеют координаты F₁(-c,0) и F₂(c,0). Возьмем произвольную точку M (x, y) на эллипсе и составим уравнение, связывающее ее координаты x и y (рис. 1).

Рис. 1

По определению эллипса MF₁ + MF₂ = 2a, отсюда:

,

.

Освободимся в последнем равенстве от радикалов двойным возведением в квадрат обеих частей равенства. В результате получим:

.

Обозначим . Тогда последнее равенство примет вид:

Разделив обе части на a²b², получим:

— каноническое уравнение эллипса.

Исследуем форму эллипса.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX: y = 0, ;

OY: x = 0, ;

A (a; 0); B (–a; 0); C (0; b); D (0; –b).

Определение 2. Точки A, B, C, D называются вершинами эллипса.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX и OY и начала координат.

3. Þ Þ

Следовательно, кривая расположена в прямоугольнике со сторонами 2а и 2b. Построим данную кривую (рис. 2).

Рис. 2

Определение 3. Отношение фокусного расстояния к большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса

.

Определение 4. Параметр a называется большой полуосью эллипса, параметр b называется малой полуосью эллипса.