Совпадение многочленов.

Теорема 1. Если значение двух многочленов и -ой степени совпадают при различных значениях аргумента х, то эти многочлены совпадают в любой точке.

Доказательство. Обозначим - многочлен степени не выше , обращающийся в ноль в точках . Следовательно:

,

но при

,

и ни один из множителей справа не равен нулю, следовательно .

"х;

"х.

Теорема 2. Если многочлен , то все его коэффициенты равны нулю

.

Доказательство. Многочлен можно представить в виде

,

но он равен нулю и в некоторой точке, отличной от . Линейные множители не равны нулю, следовательно .

-многочлен степени ,

, ,

и т.д.

.

Теорема 3. Если два многочлена равны в любой точке, то их коэффициенты совпадают.

Доказательство. Разность данных многочленов есть многочлен равный нулю в любой точке и по теореме 2 его коэффициенты равны нулю, следовательно коэффициенты данных многочленов совпадают.