Показательная форма комплексного числа.

Пусть z=x+iy комплексное число. По определению полагают, что

. (*)

Например, .

.

Если -действительное число, то

- действительное число.

Если положить в (*) х=0, то

.

Это равенство называют формулой Эйлера.

Заменим в формуле Эйлера у на (-у).

.

Из данного равенства и формулы Эйлера можно выразить тригонометрические функции через показательную функцию мнимого аргумента:

.

Рассмотрим произвольное комплексное число в тригонометрической форме.

,

где r =½z½, j=Arg z. По формуле Эйлера

.

Следовательно, любое комплексное число можно представить в показательной форме:

.

Примеры.

1. ,

2. ,

3. .