Степенные ряды

Определение 1. Ряд вида называется функциональным рядом. При данный ряд превращается в числовой ряд , который можно исследовать на сходимость.

Определение 2. Множество действительных чисел А называется областью сходимости функционального ряда, если для любых соответствующий числовой ряд сходится.

Функциональный ряд является функцией, определенной на области сходимости.

Определение 3. Функциональный ряд, расположенный по положительным возрастающим степеням переменной х, называется степенным рядом.

где - некоторые числа.

Теорема. Для любого степенного ряда существует число такое, что при ряд сходится, при ряд расходится, при вопрос открыт.

.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, (-R;R) - интервал сходимости степенного ряда.

Пример. .

.

Интервал сходимости (-1,1).

При х=1 получаем ряд . Он расходится.

При х= -1 получаем ряд . Он сходится.

Итак, при ряд сходится (область сходимости), при ряд расходится.