Линейные неоднородные

дифференциальные уравнения второго порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение

(1)

и соответствующее ему однородное уравнение

. (2)

Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (1) можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения (2) и любого частного решения неоднородного уравнения (1).

Доказательство.

Пусть - общее решение однородного уравнения (2). Так как это уравнение второго порядка, то это решение зависит от двух произвольных постоянных. Пусть - какое-либо частное решение неоднородного уравнения (1). Покажем, что их сумма является общим решением неоднородного уравнения (1).

Функция y зависит от двух произвольных констант. Подставим y в (1).

0 +.

Таким образом, у является решением неоднородного уравнения (1) и так как оно зависит от двух произвольных постоянных, то у является общим решением неоднородного уравнения (1).

Для того чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, надо найти общее решение соответствующего однородного и какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Для уравнения с постоянными коэффициентами частное решение неоднородного уравнения подбирается по виду правой части f(x):

1) если f(x) - многочлен, то частное решение ищут в виде многочлена той же степени с неизвестными коэффициентами;

2) если f(x) зависит от синуса и косинуса одного аргумента, то частное решение ищут в виде суммы синуса и косинуса этого же аргумента с неизвестными коэффициентами;

3) если в правой части - показательная функция, умноженная на многочлен, то частное решение ищут в виде произведения многочлена той же степени с неизвестными коэффициентами, умноженного на показательную функцию с тем же аргументом, что и в уравнении.

Пример. - неоднородное уравнение.