Линейные однородные дифференциальные

уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида: а₀ y″ + a₁ y′+a₂ y = 0, где a₀, a₁, a₂ - некоторые числа. Будем искать решение этого уравнения в виде y = e^kx . Разделим обе части уравнения на a₀ ¹ 0.

,

где , .

Подставим в уравнение выражение для у:

,

, e^kx ¹ 0.

Следовательно, . Это уравнение называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения.

Найдем дискриминант этого уравнения

.

При этом возможны следующие случаи.

1. D>0. Уравнение имеет два различных корня . Общее решение имеет вид

.

2. D=0. Уравнение имеет два одинаковых корня . Общее решение имеет вид

.

3. D < 0. Найдем два параметра a = , . Общее решение имеет вид

.