Понятие о дифференциальном уравнении

 

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение 2. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение  n-го порядка имеет вид

F(x,y,y',y'', …, y(n))=0.

Определение 3. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в него в первой степени. Общий вид линейного дифференциального уравнения   n-го порядка:

a0(x)y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an-1(x)y(1) + an(x)y = f(x).                                         (1)

Определение 4. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным, если  f(x) º 0, и неоднородным - в противном случае.

Примеры дифференциальных уравнений:

y'' - sin x y' + (cos x) y = tg x          - линейное,

sin y' - cos y = ctg x                         - нелинейное,

y''' - y' = 0                                         - линейное,

(yIV)2 - 3y''' + y = 1                          - нелинейное.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j(x), при подстановке которой в уравнение будет получено тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, график решения называют интегральной кривой.

Пример 1.     y' - f(x) = 0 ,                          Пример 2.     y'' = 0,

y' = f(x),                                                        y' = C,

y = ò f(x)dx + C.                                          y = C1x + C2.

Определение 6. Решение дифференциального уравнения n-го порядка, содержащее n произвольных постоянных, называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 7. Если в результате интегрирования дифференциального уравнения получена зависимость между y и x, из которой не удается явно выразить y через x (т.е. неизвестная функция задана неявно), то данную зависимость называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 8. Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. y'' + y = 0.

y = C1 cos x + C2 sin x - общее решение.

у1 = 3 cos x -2 sin x - частное решение.