Дифференциал

Определение. Главная линейная относительно Dх часть малого приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Если малое приращение функции можно представить в виде , где - б.м. функция более высокого порядка, чем Dх при (), тогда

.

Пример. .

,

.

Теорема. Функция не может иметь двух различных дифференциалов.

Доказательство. Предположим противное – функция имеет два дифференциала. Тогда малое приращение функции можно представить в виде

,

,

где , - б.м. функции более высокого порядка, чем Dх при . Вычтем эти равенства:

.

Разделим обе части на Dх:

.

Переходя к пределу в обеих частях равенства при , получим

,

.

Полученное противоречие доказывает теорему.