Непрерывность функции в точке
Пусть функция y=f(x) определена
в некоторой окрестности точки х0.
Определение 1. Функция y=f(x) называется
непрерывной в точке х0, если для любого 
найдется 
такое, что при всех х,
удовлетворяющих неравенству 
, будет выполняться неравенство
.
Определение 2. Функция y=f(x) называется
непрерывной на множестве АÌR,
если она непрерывна в каждой точке множества А.
Сравнивая определение 1 с определением
предела функции, можно получить, что функция y=f(x) непрерывна
в точке х0 тогда и только тогда, когда ее предел при x ® х0 равен значению функции в этой точке:
.
Определение 3. Приращением аргумента называется разность двух значений переменной х и обозначается Dх. Приращением функции,
соответствующим данному приращению аргумента, называется разность двух значений функции от соответствующих
аргументов и обозначается Dу:
Dх=х-х0 , Dу=f(x)-f(x0).
Из определения 1 следует:
"
$
, для 
будет выполняться 
, т.е.
.
Таким образом, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда
малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.