Замечательные пределы

Теорема 1. Предел отношения синуса малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, при стремлении величины дуги к нулю равен единице.

.

Доказательство. Рассмотрим случай . Так как , то . Построим тригонометрический круг и отложим в нем угол x радиан (рис. 1).

Рис. 1

Для площадей полученных фигур справедливо неравенство

.

Из данного неравенства с учетом соотношений АВ = sin x, CD =tg x, OD = 1, получим (площадь сектора с величиной дуги x радиан и радиуса r равна 1/2 x r²).

.

Разделим обе части неравенства на 1/2 sin x > 0.

.

Запишем неравенство для обратных величин:

.

При левая и правая часть последнего неравенства стремятся к единице, следовательно, по первому признаку существования предела средняя часть неравенства также стремится к единице, т.е.

.

Случай сводится к предыдущему с использованием четности функции y = sin x:

, где (- x) > 0.

Теорема 2. Предел последовательности при равен .

, .