Понятие функции

 

Пусть Х и Y - некоторые множества.

Определение 1. Если каждому элементу xÎХ ставится в соответствие по некоторому правилу единственный элемент yÎ Y , то говорят, что на множестве Х задана функция (отображение) со значениями в множестве Y :

f : X®Y,         y=f(x).

Множество Х называется областью определения функции и обозначается Dom(f) или D(f), множество Y называется множеством значений функции и обозначается  Im(f)  или  I(f).

Определение 2. Если функция f переводит элемент xÎХ в элемент  yÎ Y, т.е. y=f(x), то у называют образом элемента х, а х называют прообразом элемента у. Образ всегда единственен.

Определение 3. Композицией отображений  f : X®Y и g : Т®Х называется отображение f · g : Т®Y.

                                                                                                                                

                                  

                                                                                                                                

                                                                                                                                

                                                  g                       f                                                     

                                                                                                                                

                                                           g ·  f                                                              

Если f и g – числовые функции, то их композицию называют сложной функцией:

y=f(x),  u=g(t)   Þ   y=f(g(t)).

Пример.  y=x3,  x=sint   Þ   y=sin3t.

Определение 4. Если обратное соответствие, переводящее У в Х является функцией, т.е. у каждого элемента yÎУ имеется  единственный прообраз xÎХ, то это соответствие называют обратным отображением, или обратной функцией.

f -1 : Y®Х,      х=f -1 (у).

Обратная функция обратима, и обратная функция к обратной функции совпадает с исходной функцией  (f -1) -1= f .

Пример.  Рассмотрим функцию y=х2. Выразим х:  . Обратной функцией будет являться  .

Определение 5. Графиком числовой функции y=f(x) называется совокупность точек плоскости вида (x , f(x)), где хÎD(f).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Определение 6. Числовая функция y=f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции:

"x1, x2ÎD(f) : x1>x2 Þf(x1)>f(x2)    (или  f(x1)<f(x2) ).

Определение 7. Числовая функция y=f(x) называется ограниченной сверху на множестве АÌ D(f), если найдется число М такое, что

"xÎА   f(x)<М.

Определение 8. Числовая функция y=f(x) называется ограниченной снизу на множестве АÌ D(f), если найдется число m такое, что

"xÎА   f(x) >m.

Определение 9. Числовая функция y=f(x) называется ограниченной на множестве АÌ D(f), если найдется число K такое, что:

"xÎА   ïf(x)ï<K.

Пример 1. Функция y=sinx ограничена, так как ïf(x)ï<2  "xÎ R.

Пример 2. Функция y=2-x2 ограничена сверху, так как f(x)<3  "xÎ R.

Определение 10.  Если числовая функция y=f(x) принимает одно и то же значение с на множестве АÌ D(f), то говорят, что функция тождественно равна с на множестве А, и обозначают  f(x) º с.