Ряд Фурье непериодической функции

Пусть функция f(x) задана на отрезке и является на нем кусочно дифференцируемой. На этом же отрезке построим функцию

И продолжим ее периодически (с периодом Т=2π) на всю числовую прямую. Введенная функция сохраняет кусочную дифференцируемость функции f(x) на отрезке и отличается на нем от f(x) разве лишь в одной точке. Поэтому при вычислении коэффициентов Фурье для функции по формулам (3) мы фактически получаем коэффициенты Фурье функции сс т.к. изменение значений функции в конечном числе точек не меняет величины интеграла.

Для любой внутренней точки х_о из будет справедлива формула

.

. Для точек при упрощающим ситуацию предположении непрерывности f(x) в этих точках получаем:

т.к. непериодическая и , а .

Пример 1. Разложим функцию в ряд Фурье на .

Решение: Очевидно, f(x) дифференцируема на . Найдем коэффициенты Фурье : ;

.

Итак, ряд Фурье имеет вид .

Т.к. непрерывна на , то при , а , значит,

при .

Пример 2. Разложим функцию и ряд Фурье на .

Решение: Если бы f(x) была 2π—периодической, ее ряд Фурье на имел бы точно такой же вид, что и на , но на

не является 2π—периодической функцией. Однако 2π—периодичность тригонометрической системы функций позволяет найти коэффициенты Фурье по формулам, аналогичным формулам

, ,

с заменой отрезка интегрирования на любой другой отрезок длиной 2π:

;

;

.

Итак, ряд Фурье имеет вид ,

а ,

значит, ,

Если необходимо разложить в ряд Фурье кусочно дифференцируемую функцию f(x) заданную лишь на отрезке , то ее можно продолжить произвольным образом в с сохранением кусочной дифференцируемости и получить при этом бесконечное множество различных разложений ( совпадающих численно лишь в (о, π)). Вызывают интерес два «специальных продолжения: четное и нечетное».

1). Если новая функция четная, то по свойствам интеграла от четной и нечетной функции по симметрическому промежутку

,

,

,

т.е. коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

, , здесь (1)

В результате использовании формул (1) получаем так называемое разложение по косинусам: .

2). Если новая функция нечетная, то

, здесь

, , т.е. коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

, здесь ; , (2)

В результате использовании формул (2) получаем так называемое разложение по синусам: .

При этом даже в случае непрерывности f(x) на оба разложения ведут себя по-разному: при разложении по косинусам на ; при разложении по синусам на (0,π), а

Пример 3. Разложим функцию по косинусам на отрезке .

Решение:

=

=

Итак,

при , .

Ответ: , .