Понятие ортогональной системы функций

Определение1. Система (множество, совокупность) функций, определенных на отрезке , называется ортогональной на этом отрезке, если при и

при , то есть .

Определение 2. Система функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx называется тригонометрической.

Заметим, что все функции, входящие в систему:

φ₁(х)=1, φ₂(х)=cosx, φ₃(х)=sinx, φ₄(х)=cos2x, φ₅(х)=sin2x,…

являются периодическими с общим наименьшим положительным периодом 2π.

В самом деле, φ₁(х)=1—периодическая с любым, отличным от нуля периодом, функции φ₂(х)=cosx и φ₃(х)=sinx имеют наименьший положительный период 2π, а функции cosпx иsinпx имеют наименьший положительный период . Поэтому число Т = 2π является с одной стороны общим, а с другой стороны наименьшим положительным периодом для всех функций, входящих в систему.

Теорема 1. Интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна положительному периоду, не зависит от выбора отрезка интегрирования.

Действительно, пусть Т > 0 - период функции f(x), а – произвольное действительное число. Докажем, что

.

По свойству аддитивности определенного интеграла

В интеграле i₃ сделаем замену переменной: пусть x=t+T, тогда t=x-T, dx=dt, t_в =a+T-T= a; t _н = T-T = 0:

(т.к. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования).

Получили: i₃=-i₁, следовательно , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Тригонометрическая система функций ортогональна на любом отрезке длины 2π.

Учитывая утверждение теоремы 1, доказательство проведем для симметричного отрезка .

Сначала докажем ортогональность функции φ₁(х)=1 ко всем остальным:

,так как при любом натуральном k функция нечетная, а отрезок интегрирования симметричен.

.

Теперь докажем ортогональность всех синусов всем косинусам:

при любых k и m N (даже при любом k = m), т.к. подынтегральная функция нечетная.

Далее докажем ортогональность косинусов с разными аргументами, т.е. при k ≠ m:

,

т.к. при любом р.

Теперь проверим ортогональность синусов с различными аргументами, т.е. при k≠m:

(см. предыдущий интеграл).

Осталось вычислить интегралы от квадратов функций системы:

Теорема доказана.

Определение 3. Функциональный ряд вида

, (1)

составленный из функций тригонометрической системы с

помощью действительных чисел, где называется тригонометрическим рядом, а числа его коэффициентами.

Очевидно, если ряд (1) сходится и точке х_о, то он сходится и в точках где , т.к. члены ряда есть 2π—периодические функции. По той же причине и сумма ряда (1), если она существует, является 2π—периодической функцией.

Заметим, что поведение тригонометрического ряда (его сходимость или расходимость в каких-то точках) полностью определяется его коэффициентами.

Рассмотрим несколько примеров тригонометрических рядов:

1) .

Здесь . Этот ряд расходится на всей числовой прямой, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости: при п-ый член , а при не существует.

2)

Здесь . Этот ряд сходится в точках (т.к. в них ) и расходится во всех остальных точках (в них не существует).

3) .

Здесь . Этот ряд сходится на всей числовой прямой, причем абсолютно по признаку сравнения рядов с произвольными членами, т.к. .