Понятие функции многих переменных

Пусть даны множества D Rⁿ и I R.

Определение 1. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у = f(x₁, …, x_n). Множество D называется областью определения функции D(у) = D, множество I называется множеством значений функции I (у) = I.

Если зафиксировать любые n – 1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x₂ = с₂, x₃ = с₃, …, х_n = c_n; y = f(x₁, c₂, …, c_n) — функция одной переменной х₁.

Пример 1.

— функция двух переменных,

— функция трех переменных.

Определение 2. Графиком функции двух переменных (рис. 1) z = f(x, y) называется множество точек (х, у, z) 3-мерного пространства, таких, что (х, у) D(z) и z = = f(x, y). Любую точку графика можно записать в виде (х, у, f(x, y)).

Рис. 1

Определение 3. Графиком функции n переменных называется n-мерная гиперповерхность в пространстве R^{n + 1}, точки которой имеют вид

(х₁, х₂, …, х_n, f(x₁, х₂, …, x_n)).

Определение 4. Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D(z), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Уравнение линии уровня: f(x, y) = c, где с — произвольное число. На данной линии уровня значение функции z = c. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести линию уровня.

Пример 2. Построить линии уровня функции z(x,y) = ,

D(z) = R²\{(1,1)}.

c = 1, , z = 1.

c = 4, , z = 4.

c = 9, , z = 9.

Линиями уровня является семейство концентрических окружностей (рис 2).

Рис. 2

Используя линии уровня, можно построить график функции (рис 3).

Рис. 3

Определение 5. Поверхностью уровня функции n переменных y = f(х₁, х₂, …, х_n) называется гиперповерхность в пространстве Rⁿ, входящая в D(у), в каждой точке которой значение функции одно и то же. Уравнение поверхности уровня f(х₁, х₂, …, х_n) = с. На поверхности уровня значение функции постоянно: у = с.