ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА.

Определение 1. Рассмотрим некоторое множество R³. Если в каждой точке множества W задана некоторая скалярная (векторная) величина, то говорят, что на множестве W задано скалярное (векторное) поле этой величины.

Для каждой точки ,

- скалярное поле,

- векторное поле.

Проекции векторного поля на оси координат будем обозначать A_x , A_у , A_z.

Определение 2. Векторной линией называется кривая, направление которой в

каждой ее точке совпадает с направлением векторного поля в этой точке.

Определение 3. Символический вектор

(набла) называется оператором Гамильтона.

Предположим, что на множестве W задано скалярное поле . В каждой точке W мы можем найти значение градиента этого скалярного поля:

gradU = .

Следовательно, скалярное поле U порождает векторное поле gradU. В каждой точке вектор gradU по численному значению и направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.

gradU =U (формальное умножение вектора на скаляр U).

Определение 4. Пусть дано векторное поле на множестве W .

Дивергенцией (расходимостью) векторного поля называется выражение

.

Из определения следует, что векторное поле порождает скалярное поле

(скалярное произведение двух векторов и ).

Определение 5. Ротором, или вихрем векторного поля называется вектор с координатами

.

Из определения следует, что векторное поле порождает векторное поле .

(векторное произведение двух векторов и ).

Теорема 1. .

Доказательство.

.

Виды полей.

Определение 1. Векторное поле называется потенциальным, если существует такое скалярное поле U, что в каждой точке поле является градиентом поля U.

.

Теорема 1. Для того, чтобы поле было потенциально, необходимо, чтобы ротор этого поля был равен нулю .

Доказательство.

Пусть поле потенциально. Покажем, что . Так как поле потенциально, то существует такое скалярное поле U, что

=,

.

Определение 2. Векторное поле называется солиноидальным (трубчатым), если существует такое векторное поле , что .

Теорема 2. Поле является солиноидальным тогда и только тогда, когда его дивергенция равна нулю.

Доказательство.

Пусть поле солиноидально. Покажем, что . Так как поле солиноидально, то существует такое векторное поле , что

,

.

Теорема 3. (О разложении поля) Произвольное векторное поле может быть представлено в виде суммы двух векторных полей, где первое поле является потенциальным, второе – солиноидальным.

, где , .