Комплексные числа

 

Комплексные числа являются расширением множества действительных чисел R.

Определение 1. Выражение вида , где a, bÎ R, i - мнимая единица, определяемая равенствами , , называется комплексным числом, при этом  называется действительной (вещественной) частью комплексного числа z (a = Re z); b называется мнимой частью комплексного числа z (b = Im z).

Множество комплексных чисел обозначается буквой C, R Ì C. Два числа  и  считаются равными, если , или Re z1=Re z2, Im z1=Im z2.

Каждому комплексному числу из множества C можно поставить в соответствие точку координатной плоскости (рис. 1). Числу  соответствует точка . Вектор  считают геометрическим изображением комплексного числа, а всю плоскость - комплексной плоскостью.

 


                                                                        Im z                                       A (a,b)

 

                                                                                                     r

 

 

                                                                                             φ                                                 C

 

                                                                             О                                     а                                Re z

 

Рис. 1

 

Обозначим длину вектора . Угол, который вектор  образует с положительным направлением оси Re z, обозначим . Из DАСО:

Re z = ,       Im z = ,

- тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Определение 2. Величина  называется модулем комплексного числа.

Определение 3. Угол, который вектор  образует с положительным направлением оси Re z, называется аргументом комплексного числа

.

Определение 4. Суммой (разностью) двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое равенством .

Re z = Re z1Re z2,     Im z = Im z1Im z2.

Определение 5. Произведением комплексных чисел  и  называется комплексное число, которое получится, если перемножить эти числа как двучлены по правилам алгебры.

Re z = а1а2–b1b2, Im z = a1b2 + a2b1.

Если комплексные числа записаны в тригонометрической форме

, ,

,

.

,                .

При перемножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент равен сумме аргументов.

Определение 6. Комплексные числа  и  называются сопряженными.

Сопряженные числа обладают следующими свойствами:

,

.

Произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля каждого из них.

Чтобы разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, надо умножить делимое и делитель на сопряженное делителю комплексное число. Тогда в знаменателе дроби получится действительное число.

Формула для деления комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:

.

Из формулы для произведения комплексных чисел следует формула Муавра: если , то .

При возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на нее.

, .

Корнем n-й степени (nÎ N) из комплексного числа называется комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.

.

Меняя , мы получим n различных значений корня из комплексного числа. Следовательно, корень n-й степени из действительного числа также имеет n комплексных значений, так как действительное число является частным случаем комплексного числа.

Пусть z=a+ib комплексное число. Его можно представить в показательной форме , где r =½z½, j=Arg z.