Линейное пространство

Основные понятия и определения

Дано множество V, элементы которого будут обозначаться малыми латинскими буквами:

Пусть в множестве V определены операция сложения, ставящая в соответствие любой паре элементов а, b из V однозначно определенный элемент , называемый их суммой, и операция умножения на действительное число, т.е. задан закон, согласно которому каждому элементу а из V и любому числу ставится в соответствие однозначно определенный элемент из , называемый произведением элемента а и числа .

Указанные операции обладают следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) в множестве V существует элемент 0, называемый нулевым, удовлетворяющий условию для всех а из V;

4) для каждого элемента а из V существует элемент , называемый противоположным элементу а, удовлетворяющий условию .

Для любых и любых выполняются свойства:

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Определение 1. Множество V называется линейным пространством, а его элементы - векторами, если в этом множестве определены операции сложения элементов множества и умножения элементов множества на действительные числа, и эти операции удовлетворяют свойствам 1 - 8. Элементы множества V будем обозначать .

Пусть даны векторы линейного пространства и действительные числа . Вектор называется линейной комбинацией векторов , а числа - коэффициентами комбинации.

Определение 2. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, для которых выполняется равенство

.

Система векторов называется линейно независимой, если из равенства

следует, что .

Теорема 1. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы является линейной комбинацией остальных векторов.

Базис и размерность линейного пространства

Если в линейном пространстве существуют n линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то число n называется размерностью этого пространства. Пространство размерности n называется n-мерным пространством, а составляющие его векторы n-мерными.

Очевидно, что любая система векторов n-мерного пространства, содержащая векторов больше n, линейно зависима.

Определение 3. Базисом n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 2. Любой вектор пространства представим в виде линейной комбинации векторов базиса, причем единственным образом.

Следовательно, если - базис n-мерного пространства, то для любого вектора найдется единственная совокупность коэффициентов :

.

Последнее равенство называют разложением вектора по базису , а коэффициенты - координатами вектора в этом базисе. Тот факт, что вектор имеет координаты в некотором базисе, будем записывать следующим образом:

.

Если известны координаты векторов и в одном и том же базисе, то сумма этих векторов и произведение вектора и числа будут в том же базисе иметь координаты

, .

Дана система векторов, заданных координатами в одном и том же базисе:

Составим матрицу из их координат

,

в k-м столбце которой стоят координаты вектора . Матрицу Х назовем матрицей системы векторов в заданном базисе.

Теорема 3. Для того чтобы s векторов n-мерного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы векторов был равен s, т.е. числу векторов.

Следовательно, для выяснения вопроса о линейной зависимости системы векторов следует вычислить ранг матрицы этих векторов r. Если ранг будет равен числу векторов r = s, то система линейно независима. Если ранг меньше числа векторов r < s, то система линейно зависима, и максимальное число линейно независимых векторов в системе, называемое рангом системы векторов, равно r. Ранг линейно независимой системы векторов равен числу векторов в системе.

Предполагается, что координаты векторов заданы в одном и том же базисе.