Матрицы и определители

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел

с m строками и столбцами называется прямоугольной матрицей размера ; числа , где , образующие матрицу, называются элементами матрицы. Если , то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Действия с матрицами

Даны две матрицы одинаковых размеров:

Определение 2. Суммой двух матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц-слагаемых:

.

Для матриц разных размеров операция сложения не определяется.

Определение 3. Произведением матрицы и действительного числа (или числа и матрицы ) называется матрица , элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число :

.

Даны матрицы и такие, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Определение 4. Произведением матрицы и матрицы называется матрица , элемент которой равен сумме произведений элементов -й строки матрицы и соответствующих элементов -го столбца матрицы , т.е.

.

В случае, когда число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй матрицы, операция умножения матриц не определяется.

Отметим, что в общем случае , даже если определено, т.е. умножение матриц не обладает переместительным законом.

Матрицы, для которых , называются перестановочными.

Определение 5. Преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями с сохранением номеров, называется транспонированием. - обозначение транспонированной матрицы.

; .

Определители второго и третьего порядков

Дана квадратная матрица второго порядка:

.

Определителем второго порядка для матрицы А называется число

.

Определитель обозначается , , ,

.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка:

.

Определение 6. Дополнительным минором к элементу матрицы А называется определитель матрицы второго порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием -й строки и -го столбца, на пересечении которых расположен элемент . Алгебраическим дополнением элемента называется минор , умноженный на множитель .

Определителем третьего порядка матрицы А называется сумма произведений элементов первого столбца матрицы А и соответствующих алгебраических дополнений:

.

.

.

Последняя запись называется правилом треугольника для вычисления определителя третьего порядка. Слагаемые выражения представляют собой произведения, в которые входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения элементов, расположенных на главной диагонали, и произведения элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, берутся со знаком "+". Последние три произведения, которые строятся аналогично указанному правилу, но относительно побочной диагонали, берутся со знаком "-".

Определение 7. Дополнительным минором к элементу матрицы А называется определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент .

Определение 8. Алгебраическим дополнением элемента называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на множитель :

При вычислении определителей следует использовать их основные свойства для облегчения вычислений.

Свойства определителей

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании. Свойства, справедливые для строк, будут справедливы для столбцов.

2. При перестановке двух строк величина определитель лишь изменит знак на противоположный.

3. Если все элементы строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Общий множитель всех элементов какой-либо строки можно выносить за знак определителя.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Определитель порядка n равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) и соответствующих им алгебраических дополнений:

;

.

8. Сумма произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Обратная матрица

Дана квадратная матрица порядка n

.

Определение 9. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Определение 10. Матрица называется обратной к данной квадратной матрице А, если ее произведение справа и слева на исходную матрицу равно единичной матрице:

.

Теорема 1. (о существовании обратной матрицы). Для того чтобы для квадратной матрицы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Теорема 2. (о единственности обратной матрицы). Если для матрицы существует обратная матрица, то обратная матрица единственна.

В процессе доказательства теоремы о существовании обратной матрицы построен алгоритм нахождения обратной матрицы, который заключается в следующем:

1) находится определитель матрицы . Если , то обратной матрицы не существует. Если , то обратная матрица существует;

2) вычисляются алгебраические дополнения для всех элементов матрицы ;

3) составляется присоединенная для матрица, обозначаемая *, размещением алгебраических дополнений элементов каждой строки матрицы в соответствующий по номеру столбец матрицы *:

;

4) выписывается обратная матрица по формуле

,

т.е. присоединенную матрицу надо умножить на величину .

Другой способ нахождения обратной матрицы основан на элементарных преобразованиях матриц, к которым относятся следующие преобразования:

1) умножение элементов некоторой строки или столбца на любое число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (другого столбца), умноженных на любое число;

3) перестановку строк (столбцов) местами.

Если матрица В получена из матрицы А путем элементарных преобразований, то это записываем так: .

Для нахождения обратной матрицы записывают матрицы А и единичную матрицу того же порядка Е рядом через черту и выполняют элементарные преобразования только над строками так, чтобы на месте матрицы А образовалась единичная матрица. Тогда на месте единичной матрицы получится обратная:

.

Можно получить единичную матрицу с помощью преобразований только над столбцами. Тогда единичную матрицу подписывают под матрицей А:

.

Вычисление ранга матрицы

Дана матрица размеров :

.

Выбираем в матрице А произвольные строк и k столбцов, где . Элементы, стоящие на пересечении этих строк и k столбцов, составляют квадратную матрицу порядка определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Обозначается

Определение 11. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется рангом этой матрицы. Обозначается r, r (А). Очевидно, что .

Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков. Поэтому если среди миноров k-го порядка есть отличный от нуля минор , а все миноры порядка k+1 равны нулю (или не существуют), то ранг такой матрицы равен k. Это свойство даст нам первый способ нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка матрицы равны нулю, т.е. матрица нулевая, то r = 0. Если матрица ненулевая и все миноры второго порядка равны нулю, то r = 1. Если есть минор второго порядка, отличный от 0, проверяем миноры третьего порядка и т.д. Если найден минор k-го порядка, отличный от нуля, а все миноры порядка к+1 равны 0 (или не существуют), то r = k. (Для облегчения вычислений заметим, что достаточно вычислять не все миноры порядка k+1, а лишь те, которые окаймляют, т.е. содержат целиком внутри себя уже найденный минор k-го порядка, отличный от нуля; если все окаймляющие миноры порядка k+1 равны 0, то ранг матрицы равен k.)

Для вычисления ранга матрицы существует еще один метод, не требующий вычисления определителей, но он применим только в том случае, когда мы хотим найти лишь ранг матрицы, но не интересуемся, какие именно строки и столбцы образуют минор порядка r, отличный от нуля, называемый базисным минором. Данный метод основан на элементарных преобразованиях матрицы, которые не изменяют ранга матрицы (см. пункт "Обратная матрица").

Матрица вида

,

где называется треугольной.

Можно доказать, что посредством элементарных преобразований любая ненулевая матрица А приводится к треугольной матрице В: . В матрице В вычеркиваем строки, все элементы которых равны нулю, что не изменяет ранга матрицы. Ранг полученной матрицы, состоящей из r строк, равен r, так как минор порядка r в левом верхнем углу отличен от нуля, тогда и r(В) = r. Матрица В получена из А путем элементарных преобразований, поэтому r(А) = r.