Системы линейных неравенств

 

Пример 1. Решить систему линейных неравенств графически и найти угловые точки множества решений. Записать формулу для граничных точек.

Решение. Найдем полуплоскость, в которой выполняется первое неравенство системы. Для этого проведем прямую  (на рис. 9.1 это прямая ).

Представим неравенство в виде

и получим решение первого неравенства системы в полуплоскости, расположенной справа от прямой . Убедиться, что выбрана нужная полуплоскость, можно, подставив в неравенство координаты произвольной точки плоскости, не лежащей на прямой . Например, для точки О(0; 0) неравенство не выполняется, следовательно, полуплоскость слева от прямой  не является решением - решение "справа". Аналогично решаем второе и третье неравенства и находим пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1).

 

 

 

  X2

          A

          3                               B                             (l3)

 

 

          2

                                                                    X1

       O             3              5

 

                                            C                     (l1)

 

                                        (l2)

Рис. 1

Решением системы неравенств является многогранник (в данном случае треугольник) с вершинами А, В, С. Для нахождения координат вершин решим соответствующие системы уравнений:

А: ;

 

В: ;

 

С:  .

Точки А, В и С - угловые точки.

Граничными точками являются точки отрезков ,  и . Множество точек отрезка  является выпуклой линейной оболочкой  и , поэтому для любой точки  отрезка  получим

.

Подставляем в данное равенство координаты точек  и .

Аналогично получаем формулы граничных точек отрезков  и :

.

Пример 2. Решить систему линейных неравенств и найти угловые точки:

Решение. Проводим прямые, выбираем нужные полуплоскости и находим их пересечение:

 

        X2

 

 

 

                                                      A

 

                                         O               1                                X1

                                                                      B

 

 

 

Искомое решение - многогранная область с вершинами А(0; 1) и В(1; 0).

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

 

Решение. Проводим прямые, выбираем нужные полуплоскости
(рис. 2).

 

X2

 

 

 

                                            2

 

 

                                            O

                                                               1                                                        X1

 

 

 

Рис. 2

Так как точек, общих для всех трех выбранных полуплоскостей, нет, система несовместна.

Пример 4. Найти область неотрицательных решений системы линейных неравенств и угловые точки этой области:

Решение. Нахождение неотрицательных значений обеспечивается выполнением дополнительных ограничений

даже если они не указаны в системе. Таким образом, пример решается аналогично предыдущим с учетом этих двух дополнительных неравенств (рис. 3).

 

           X2

 

             2    A                 B

 

 

  O

 

C                                                             X1

 

-2

 

 

 

Рис. 3

Искомым решением является четырехугольник ОАВС с угловыми точками О(0; 0), А(0; 2), В(2; 2), С(1; 0).