Пример 1

Линейные преобразования и квадратичные формы

Пример 1. Пусть в двухмерном пространстве линейное преобразование в базисе задано матрицей

Найти , если .

Решение. По формуле

Следовательно, .

Пример 2. Даны два линейных преобразования:

Найти линейное преобразование, выражающее через .

Решение. Обозначим первое преобразование , а второе и их матрицы и В, соответственно. Тогда искомое преобразование есть и его матрица

Пример 3. Найти характеристический многочлен и характеристические числа матрицы

Решение. Характеристический многочлен данной матрицы имеет вид

Для нахождения характеристических чисел решаем уравнение

Корни данного уравнения (характеристические числа): .

Пример 4. Пусть линейное преобразование линейного двухмерного пространства в базисе имеет матрицу . Доказать, что вектор является собственным вектором этого преобразования с собственным числом .

Решение. Вектор ненулевой и

т.е. .

Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования , заданного в некотором базисе матрицей

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , и так как его корни характеристические числа, то они являются собственными значениями . Собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , найдем из системы (9.7), которая в данном случае примет вид

или

Подставив сюда , получим систему уравнений

Ранг матрицы данной системы равен 2; одно из ее решений имеет вид ; ; . Тогда собственные векторы для имеют вид , где - любое действительное число.

Пусть теперь , тогда

Ранг полученной системы уравнений равен 1. Два ее линейно независимых решения имеют следующий вид:

;

Собственные векторы для имеют вид и , где и - любые действительные числа.

Пример 6. Найти собственные значения и собственные векторы симметрического линейного преобразования, заданного в некотором ортогональном базисе матрицей

и привести ее к диагональному виду.

Решение. Составим характеристическое уравнение

или

Корни указанного уравнения: .

Собственные векторы, соответствующие и , найдем из системы (9.7), которая для данного примера примет вид

Подставив сюда , получим

Ранг приведенной системы равен 2. Одно из решений данной системы: , , . Тогда собственные векторы для имеют вид , где - любое действительное число.

Аналогично найдем собственные векторы с собственным значением :

где - любое действительное число.

Так как собственное значение является двукратным корнем характеристического уравнения, ему соответствует бесконечное множество собственных векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярной к собственному вектору, соответствующему собственному значению . Поэтому, умножив векторно на , найдем еще собственные векторы с собственным значением :

Итак, симметрическое линейное преобразование с данной симметрической матрицей имеет, по крайней мере, одну тройку попарно перпендикулярных собственных векторов, а следовательно, матрицу можно привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы.

Нормируя ортогональные собственные векторы , и , получаем векторы

, и ,

которые составляют ортонормированный базис.

Ортогональная матрица перехода имеет вид

Обратная ей матрица

Тогда . - диагональная матрица, элементами главной диагонали которой являются собственные значения.

Пример 7. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

Решение.

1) Запишем квадратичную форму в симметрическом виде:

;

2) запишем матрицу квадратичной формы:

;

3) составим характеристическое уравнение матрицы :

или

;

4) находим - собственные значения матрицы

5) запишем систему уравнений, определяющих искомые собственные векторы:

Подставляя сюда и , найдем собственные векторы и . Заметим, что они ортогональны;

6) нормируя ортогональные собственные векторы и , находим векторы, образующие новый ортонормированный базис и определяющие главные направления квадратичной формы: