Пример 1

Решение произвольных систем

линейных уравнений

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:

Выполняя элементарные преобразования, приведем левую часть матрицы к единичному виду: на главной диагонали будем создавать единицы, а вне ее - нули.

Создадим нули в первом столбце. Для этого первую строку перепишем, а затем, умножив ее на –2 и –3, прибавим ко второй и третьей строкам, соответственно:

Создадим нули во втором столбце. Для этого вторую строку перепишем, а затем сложим с третьей строкой и, умножив на (–1), сложим с первой строкой.

Разделим третью строку на –7, создав таким образом единицу на диагонали:

Создадим нули в третьем столбце. Для этого третью строку перепишем, а затем, умножив ее на 6 и на –7, сложим со второй и третьей строками, соответственно:

Итак, левая часть матрицы приведена к диагональному виду. Полученная матрица соответствует системе уравнений или

Пример 2. Найти общее и базисное решения системы уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

Выберем первую базисную переменную. Столбец коэффициентов при ней будет приведен к виду , т.е. эта переменная будет исключена из всех уравнений, кроме первого. Пусть, например, это будет переменная (это удобно, так как во втором столбце есть единица в первой строке).

Для исключения базисной переменной первую строку перепишем, а во второй и третьей строках второго столбца создадим нули:

Выберем вторую базисную переменную. Столбец коэффициентов при ней будет приведен к виду , т.е. эта переменная будет исключена из всех уравнений, кроме второго. Пусть это будет переменная .

Для исключения базисной переменной умножим вторую строку на –1, а затем в первой и третьей строках создадим нули в третьем столбце:

Отбросим нулевую строку:

Итак, количество базисных переменных равно рангу матрицы. Переменные и введены в базис.

Выпишем систему уравнений, соответствующую полученной матрице:

Преобразуем данную систему, оставив в левых частях уравнений только базисные переменные:

Полученная зависимость базисных переменных и от свободных переменных и и есть общее решение исходной системы уравнений.

Для того чтобы найти базисное решение, нужно свободным переменным и придать нулевые значения и вычислить значения базисных переменных и : .

Пример 3. Найти общее решение и два базисных решения системы уравнений:

Решение.

Базис

-1

-3

-2

-9

-2

-1

-3

-7

-2

-1,5

0,5

-1,5

-4

-3

Общее решение системы :

Базисное решение: .

Выполним переход к другому базису. Выберем в последней таблице в качестве ключевого элемента коэффициент 1 при свободной переменной в третьем уравнении: переменная войдет в базис вместо переменной .