Степенные ряды.

Область сходимости степенного ряда

Ряд, членами которого являются функции от независимой переменной , называется функциональным рядом:

.

Значение , при котором числовой ряд

сходится, называется точкой сходимости ряда. Совокупность всех точек сходимости ряда называют областью сходимости ряда.

Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенным. Степенной ряд общего вида:

,

где постоянные - коэффициенты степенного ряда.

Если , то степенной ряд примет вид

.

Для такого степенного ряда существует число , такое, что при ряд сходится, а при расходится. При могут иметь место как сходимость, так и расходимость степенного ряда. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, оно находится по формуле

.

Возможны следующие случаи:

1) , что означает сходимость степенного ряда в одной точке ;

2) - положительное число. Следовательно, ряд сходится в . Далее исследуют сходимость степенного ряда на концах интервала, т.е. исследуют сходимость соответствующих числовых рядов при и рассмотренными выше методами;

3) , что означает сходимость степенного ряда на всей числовой оси.