Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Определение 1. Уравнение вида

, (1)

где - независимая переменная, - искомая функция, - ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно производной то оно принимает вид

(2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = φ(x) на интервале I, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Решить, или проинтегрировать, данное дифференциальное уравнение - значит найти все его решения в заданном интервале I.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Определение 3. Условия при , т.е.

, (3)

в силу которых функция принимает заданное значение y₀ в заданной точке x₀, называются начальными условиями решения. Задача нахождения решения дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию (3), называется задачей Коши.

Определение 4. Общим решением уравнения (2) в некоторой области плоскости XOY называется функция ; - произвольная постоянная, если она является решением уравнения (2) при любом значении постоянной C, и если при любых начальных условиях (3) таких, что существует единственное значение постоянной такое, что функция удовлетворяет данным начальным условиям .

Определение 5. Частным решением уравнения (2) в области G называется функция , которая получается из общего решения при определенном значении постоянной .

Геометрически общее решение представляет семейство интегральных кривых на плоскости XOY, зависящее от одной произвольной постоянной C, а частное решение - одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку .

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 6. Уравнение вида

= f₁(x)f₂(y), (4)

где f₁(x) и f₂(y) - непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заменим в (6.4) на . Поделив обе части уравнения на f₂(y) в предположении, что , и умножив на , получим уравнение

. (5)

В данном уравнении переменная x входит только в правую часть, а переменная y - только в левую. Уравнение (5) называется уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл уравнения (4) имеет вид

где С - произвольная постоянная.

Однородные уравнения

Определение 7. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

При решении данного уравнения производят замену переменной: Отсюда, . Тогда и уравнение примет вид , из которого получаем уравнение с разделяющимися переменными, ход решения которого известен.