Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Пример 1. Решить
уравнение 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение 
. Его корни 
, 
. По теореме 6.2, общее решение данного уравнения имеет вид 
.
Пример 2. Решить
уравнение 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение 
или 
. Отсюда 
. По теореме 6.2, общее решение имеет вид 
.
Пример 3. Решить
уравнение 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение 
. Его корни 
, 
. По теореме 6.2, общее решение данного уравнения имеет вид 
.
Пример 4.
Решить уравнение 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение . Его корни , . Общее решение однородного уравнения имеет вид 
. Так как правая часть данного дифференциального уравнения - многочлен первой степени и ни один из корней
характеристического уравнения не равен нулю, то частное решение 
будем искать в виде 
, где 
, 
- неизвестные
коэффициенты. Найдем 
, 
и подставим , 
, 
в данное уравнение.
Получим 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим
систему уравнений относительно коэффициентов и , т.е. 
, 
. Решая ее, находим 
, 
. Частное решение данного уравнения 
. Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Пример 5. Найти
общее решение уравнения 
. Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям 
, 
.
Решение. Характеристическое уравнение для однородного уравнения
имеет вид 
. Его корни 
. Общее решение соответствующего однородного уравнения 
. В правой части данного уравнения - произведение многочлена
нулевой степени 
на показательную
функцию 
, 
. Так как среди корней характеристического уравнения имеется
два корня, равных единице, то 
. Значит, частное решение данного уравнения имеет вид 
. Дважды дифференцируя и подставляя в данное
уравнение, получим 
, или 
. Отсюда, . Значит, 
. Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид 
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям ,. Здесь 
. Воспользовавшись начальными условиями, получим систему двух
уравнений: 
, 
. Отсюда, частное решение исходного дифференциального
уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям, имеет вид 
.
Пример 6. Решить
уравнение 
+y = 3cos2x.
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
, 
. Поэтому общее решение соответствующего однородного
уравнения 
. В правой части уравнения стоит тригонометрическая функция 
, т.е. 
, 
, 
. Так как среди корней характеристического уравнения нет
корней, равных 
, то 
и частное решение
будем искать в виде 
. Дважды дифференцируя и подставляя в данное
уравнение, получим 
. Отсюда, 
, 
, а значит, 
. Общее решение данного уравнения имеет вид 
.
Пример 7. Решить
уравнение 
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , . Общее решение соответствующего однородного уравнения 
. В правой части
данного уравнения - произведение многочлена
очлена нулевой степени, показательной и тригонометрической функций, т.е. 
, 
, 
. Число 
не является корнем
характеристического уравнения, поэтому 
и частное решение
ищется в виде 
. Дважды дифференцируя и подставляя в данное
уравнение, получим 
. Отсюда, 
; 
, а 
. Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид
.