Дифференциальные уравнения первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение . Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Будем искать решение данного дифференциального уравнения в виде , . Подставляя и в уравнение, получим . Сгруппируем слагаемые с общим множителем u, получим . Положим . Это уравнение с разделяющимися переменными, и его решение имеет вид . Тогда уравнение для нахождения u примет вид Разделим переменные: . Отсюда . Решение исходного дифференциального уравнения . Найдем частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию . Подставим в общее решение , , получим , т.е. . Значит, частное решение, соответствующее данному начальному условию, имеет вид .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения . Это уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которого имеет вид Найдем : Подставим и в исходное уравнение, получим Разделим переменные, получим уравнение . Проинтегрировав его, получим . Отсюда решение исходного уравнения:

Уравнением, приводящимся к линейному уравнению первого порядка, является уравнение Бернулли: , где , - непрерывные функции, - число, . Поделив обе части уравнения на в предположении, что , получим уравнение . Произведем в этом уравнении замену переменной: , . В результате получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка: , ход решения которого известен.