Дифференциальные уравнения первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение . Найти частное решение этого уравнения, соответствующее начальному условию .

Решение. Заменим в приведенном уравнении на . Получим уравнение Разделим переменные: для этого поделим обе части полученного уравнения на в предположении, что и умножим на . Уравнение с разделенными переменными имеет вид Интегрируя обе части уравнения, находим где - произвольная постоянная. Воспользовавшись свойствами логарифмов, перепишем решение в неявном виде: , ; не является решением данного дифференциального уравнения. Значит, общее решение имеет вид , .

Найдем частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию (т.е. при ). Подставим эти условия в общий интеграл: . Отсюда, частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию, имеет вид .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Поделим на левую и правую части заданного уравнения. Отметим, что не является решением уравнения. Поделив, получим уравнение Это уравнение является однородным. Произведем замену переменной Получим уравнение с разделяющимися переменными . Так как функция - дифференцируемая функция аргумента , заменим на . Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, получим , где - произвольная постоянная. Воспользовавшись свойствами логарифмов, получаем , . Общее решение данного уравнения имеет вид , . Найдем частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию . Подставим в общее решение , ; получим частное решение .