метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов применяют при интегрировании рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) являются многочленами. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя P(x) ниже степени знаменателя Q(x); в противном случае дробь называют неправильной. Любая правильная рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы простых рациональных дробей. Простые рациональные дроби:

1) ;

2) , где m - целое число, больше единицы;

3) , где квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

4) , где n - целое число, больше единицы, и квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Чтобы разложить правильную рациональную дробь на простые дроби, необходимы следующие действия.

1. Разложить знаменатель Q(x) на линейные и квадратные множители, не имеющие действительных корней. Каждому сомножителю (x-a)^k разложения Q(x) отвечает в разложении дроби выражение вида

(1)

Каждому сомножителю - выражение вида

(2)

2. Записать разложение на простейшие дроби, используя выражения (1) и (2), при этом все коэффициенты пока неопределенные.

4. Полученное равенство привести к общему знаменателю.

5. Раскрыть скобки, привести подобные члены и получить систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решив эту систему, определим коэффициенты и запишем разложение дроби на простые дроби.

Интегрирование простых дробей показано в предыдущих параграфах.

Если дробь является неправильной, то прежде всего необходимо выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде

, где M(x) - многочлен; - правильная дробь; ее следует разложить на простейшие дроби, затем проинтегрировать каждое слагаемое.