Использование понятия производной в экономике

Пример 1. Объем продукции, произведенной цехом, может быть описан уравнением , где - рабочее время (ч). Вычислить производительность труда и скорость ее изменения при t=2 и t=5.

Решение. Производительность труда найдем по формуле (2.2):

(ед./ч).

Скорость изменения производительности труда вычислим как ее производную: ().

Тогда в заданные моменты времени имеем

(ед./ч), ();

(ед./ч), ().

Таким образом, производительность труда к концу рабочего дня снижается. При этом изменение знака свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Пример 2. Зависимость между издержками С и объемом выпуска продукции q определяется функцией . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 300 ед.

Решение. Функция средних издержек на единицу продукции имеет вид

.

Предельные издержки определяются по формуле

.

Таким образом, при заданном объеме производства продукции q = 300 ед. средние издержки составляют 7500 ден. ед., а предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции составляют 15000 ден. ед.

Пример 3. Зависимость спроса q от цены единицы продукции p задается соотношением . Найти эластичность спроса. При каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным, неэластичным?

Решение. По формуле (2.3) найдем эластичность спроса:

.

Учитывая, что p и q должны быть положительными:

>0,

p<576.

Спрос нейтрален, если . Найдем решение этого уравнения: p = 256.

При 0<p<256 спрос неэластичен. При увеличении цены выручка будет расти.

При 256<p<576 спрос эластичен. Повышение цены для этих значений p нецелесообразно. Если же цену снизить, то выручка от реализации будет расти за счет увеличения спроса.

Пример 4. Пусть функция спроса имеет вид .

а) Найти эластичность спроса при цене, равной 10 ед.

б) Определить, как изменится выручка от реализации, если цену увеличить на 3%.

Решение. а) По формуле (2.3) эластичность спроса

.

При показатель эластичности . Таким образом, при цене 10 ед. увеличение ее на 1% приведет к снижению спроса на 0,97%.

Спрос неэластичен, следовательно, увеличение цены приведет к росту выручки.

б) При цена увеличилась на 3%, т.е. стала равной .

Тогда спрос изменится на %, т.е. станет равным .

Выручка составит . Это означает, что выручка возросла приблизительно на 0,0027%.