Исследование общего уравнения

линии второго порядка

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид

. (1)

Если определитель , то линия имеет единственный центр симметрии и называется центральной линией, а ее центр симметрии - просто центром. Остальные линии называются нецентральными. Примеры центральной линии - окружность, эллипс, гипербола, а нецентральной-парабола. Если уравнение (1) задает центральную линию, то можно осуществить параллельный перенос осей координат по формулам и , где , - координаты нового начала , являющегося центром линии. Они определяются из системы

В новой системе координат уравнение (1) примет вид

. (2)

В результате параллельного переноса коэффициенты при старших членах не изменяются, а свободный член

,

т.е. свободный член равен результату подстановки в левую часть уравнения (1) вместо текущих координат x, y координат нового начала .

Для дальнейшего упрощения уравнения (2) применим правило приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Если повернуть оси координат так, чтобы направление осей и совпадали с главными направлениями квадратичной формы, то уравнение примет канонический вид:

, (3)

где и - корни характеристического уравнения

, или .

Если , то согласно теореме Виета , т.е. характеристические числа и отличны от нуля.

Возможны два случая.

1. Числа и одного знака, т.е. . Если свободный член и его знак противоположен знаку чисел , , то уравнение (3) определяет эллипс. Если же знак члена совпадает со знаком чисел , , то уравнение не имеет геометрического смысла. При уравнение определяет одну точку и .

2. Числа и имеют разные знаки, следовательно, . В этом случае, если , то уравнение (3) определяет гиперболу, если же , то пару пересекающихся прямых.

Если , то уравнение (1) определяет нецентральную линию.

Так как , то хотя бы одно из чисел , равно нулю. Пусть , . Выполним поворот системы координат XOY так, чтобы направления новых осей и совпали с главными направлениями квадратичной формы старших членов уравнения (1). Тогда уравнение (1) в новой системе примет вид

,

где , .

При исследовании геометрического смысла уравнения возможны следующие случаи:

1) коэффициент , тогда уравнение определяет параболу, ось симметрии которой параллельна оси ;

2) коэффициент , тогда уравнение определяет пару параллельных прямых (действительных, если , совпадающих, если , и мнимых, если ).

Таким образом, уравнение (1) при определяет действительный или мнимый эллипс либо точку (0; 0); при - гиперболу или пару пересекающихся прямых, а при - параболу либо пару параллельных прямых (действительных, мнимых или совпадающих).