Поверхности второго порядка

Пример. Дан однополостный гиперболоид . Найти линии пересечения его с плоскостями, параллельными осям координат.

Решение. Найдем линию пересечения гиперболоида с плоскостью, параллельной координатной плоскости XOY.

Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости XOY, имеет вид z = c. Подставим в уравнение гиперболоида вместо z параметр c, получим . Отсюда если , то получим уравнение гиперболы, если , то получим или и , т.е. уравнения двух прямых.

Найдем линию пересечения гиперболоида с плоскостью y = b, параллельной координатной плоскости XOZ. Подставим в уравнение гиперболоида вместо y параметр b, получим . При любом b это уравнение эллипса. Линия пересечения гиперболоида с плоскостью x = a примет вид . Если , то это уравнение гиперболы, если , то прямые и .