Уравнение плоскости в пространстве

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; –3; 4) и параллельной плоскости 3x–4y+5z+7 = 0.

Решение. Составим уравнение плоскости по формуле уравнения плоскости, проходящей через данную точку в данном направлении:

.

Компоненты направляющего вектора найдем из условия параллельности двух плоскостей, т.е.

,

если взять коэффициент пропорциональности, равный единице, то получим А = 3; В = –4; С = 5.

Уравнение плоскости примет вид

3(x–2)–4(y+3)+5(z–4)=0, или 3x–4y+5z–38=0.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(6; 3; 1) и отсекающей на осях координат положительные и равные между собой отрезки.

Решение. Возьмем уравнение плоскости в координатных отрезках:

.

Так как a = b = c, то уравнение примет вид

x + y + z = a.

Подставим координаты данной точки b в приведенное уравнение и найдем а.

.

Получим уравнение искомой прямой:

x + y + z = 10.