Семинар 6. Задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Пусть и , - дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции векторного аргумента . Требуется найти экстремум функции при условии, что аргумент удовлетворяет системе ограничений:

,

(последнее условие называют также условием связи).

Наиболее простым методом нахождения условного экстремума является сведение задачи к нахождению безусловного экстремума путем разрешения уравнения связи относительно s переменных и последующей их подстановки в целевую функцию.

Пример 1. Найти экстремум функции при условии .

Решение. Из уравнения связи выразим х₂ через х₁ и подставим полученное выражение в функцию y:

Эта функция имеет единственный экстремум (минимум) при х₁=2. Соответственно, . Таким образом, точкой условного экстремума (минимума) заданной функции является точка ; =0.

В рассмотренном примере уравнение связи легко разрешимо относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях выразить переменные удается не всегда. Соответственно, описанный выше подход применим не ко всем задачам. Более универсальным методом решения задач отыскания условного экстремума является метод множителей Лагранжа. Он основан на применении следующей теоремы. Если точка является точкой экстремума функции в области, определяемой уравнениями , , то (при некоторых дополнительных условиях) существует такой s –мерный вектор , что точка является стационарной точкой функции

.

Алгоритм метода множителей Лагранжа

1. Составить функцию Лагранжа:

,

где - множитель Лагранжа, соответствующий i-му ограничению.

2. Найти частные производные функции Лагранжа и приравнять их к нулю

3. Решив получившуюся систему из n+s уравнений, найти стационарные точки.

Заметим, что в стационарных точках выполняется необходимое, но не достаточное условие экстремума функции. Анализ стационарной точки на наличие в ней экстремума в данном случае достаточно сложен. Поэтому метод множителей Лагранжа в основном используют в тех случаях, когда о существовании минимума или максимума исследуемой функции заранее известно из геометрических или содержательных соображений.

При решении некоторых экономических задач множители Лагранжа имеют определенное смысловое содержание. Так, если - прибыль предприятия при плане производства n товаров , - издержки i-го ресурса, то - оценка этого ресурса, характеризующая скорость изменения оптимума целевой функции в зависимости от изменения i-го ресурса.

Пример 2. Найти экстремумы функции при условии

.

Решение. Заметим, что функции

и

непрерывны и имеют непрерывные частные производные.

Составим функцию Лагранжа:

.

Найдем частные производные и приравняем их к нулю.

.

Получаем две стационарные точки:

1) при ;

2)

3) при .

4)

Принимая во внимание характер целевой функции, линиями уровня которой являются плоскости, и функции (эллипс) заключаем, что в точке функция принимает минимальное значение, а в точке максимальное.

Пример 3. В области решений системы

найти максимальное и минимальное значение функции при условии

Решение. Пересечением области допустимых решений и прямой является отрезок MN: M(0,6), N(6,0). Поэтому экстремальные значения функция может принимать либо в стационарных точках, либо в точках M и N. Для нахождения стационарной точки применим метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

.

Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю

Решая систему, получаем стационарную точку К(2,2;3,8). Сравним значения целевой функции в точках К, M, N:

y(K)=4,76, y(N)=77, y(M)=29.

Следовательно, , ; , .

Задачи

Найти экстремумы функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. В области решений системы

найти условные экстремумы функции при условии .

10. В области решений неравенства найти условные экстремумы функции при условии .

Ответы

1.

2. ; .

3. .

4 .

5. , a), б) ;

, a), б) .

6. .

7. .

8. .

9. , ; , .

10. , ; , , .