Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование

Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием.

Пример 1. Найдем интеграл

Применив второе и пятое свойства неопределенного интеграла, получим

. (*)

Далее, используя формулы II, Ш, IV, VIII таблицы и третье свойство интегралов, находим каждый из слагаемых интегралов отдельно:

Подставим эти результаты в (*) и, обозначив сумму всех постоянных (ЗС₁+7С₂+4С₃+2С₄+С₅) буквой С, получим окончательно:

Проверим результат дифференцированием. Найдем производную полученного выражения:

Мы получили подынтегральную функцию, это доказывает, что интегрирование выполнено верно.

Пример 2. Найдем

В таблице интегралов приведено следствие IIIа из формулы III:

Чтобы воспользоваться этим следствием, найдем дифференциал функции, стоящей в показателе степени:

Для создания этого дифференциала достаточно домножить знаменатель дроби под интегралом на число 2 (очевидно, чтобы дробь не изменилась, необходимо при этом умножить на 2 и числитель). После вынесения постоянного множителя за знак интеграла он становится готовым для применения табличной формулы IIIа:

Проверка:

следовательно, интегрирование выполнено правильно.

Пример 3. Найдем

Так как из выражения, стоящего в числителе, можно сконструировать дифференциал квадратичной функции, то следует выделить в знаменателе такую функцию:

Для создания ее дифференциала достаточно умножить числитель на 4 (знаменатель при этом также умножим на 4 и вынесем этот множитель знаменателя за интеграл). В результате мы получим возможность использовать табличную формулу X:

Проверка:

т.е. интегрирование выполнено верно.

Пример 4. Найдем

Заметим, что теперь квадратичная функция, дифференциал которой можно создать в числителе, является подкоренным выражением. Поэтому разумно будет записать подынтегральную функцию как степенную, чтобы воспользоваться формулой I таблицы интегралов:

Проверка:

Вывод: интеграл найден правильно.

Пример5. Найдем

Обратим внимание на то, что подынтегральное выражение содержит

функцию ; и ее дифференциал . Но дробь является также и дифференциалом всего подкоренного выражения (с точностью до знака):

Поэтому разумно представить дробь в виде степени:

Тогда после домножения числителя и знаменателя на (-1) мы получим степенной интеграл (табличная формула I):

Дифференцированием результата убеждаемся, что интегрирование выполнено верно.

Пример 6. Найдем

Легко убедиться, что в этом интеграле из выражения дифференциал подкоренной функции не удастся получить с помощью числовых коэффициентов. Действительно,

где k —константа. Зато, по опыту примера 3, можно сконструировать интеграл, совпадающий по виду с формулой X из таблицы интегралов:

Пример 7. Найдем

Обратим внимание на то, что в числителе легко создается дифференциал кубической функции d(x³) = 3x²dx. После чего мы получаем возможность использовать табличную формулу VI:

Пример 8. Найдем

Известно, что производной функции arcsin x является дробь

тогда

Это приводит нас к выводу, что искомый интеграл имеет вид степенного интеграла: , в котором и = arcsin x, a значит,

Пример 9. Для нахождения

воспользуемся той же табличной формулой I и тем, что

Получим

Пример 10. Найдем

Поскольку выражение является дифференциалом функции , то, используя формулу I таблицы интегралов, получаем

Пример 11. Для нахождения интеграла

воспользуемся последовательно: тригонометрической формулой

тем фактом, что

и формулой II таблицы интегралов:

Пример 12. Найдем

Так как выражение

является дифференциалом функции , то, используя ту же формулу II, получаем

Пример 13. Найдем интеграл

Заметим, что степень переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе. Это позволяет в числителе создать дифференциал знаменателя. Найдем

После вынесения постоянного множителя за знак интеграла домножим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на (-7), получим:

(Здесь использовалась та же формула II из таблицы интегралов).

Пример 14. Найдем интеграл

Представим числитель в ином виде: 1 + 2х² = (1 + х²) + х² и выполним почленное деление, после чего используем пятое свойство интегралов и формулы I и VIII таблицы:

Пример 15. Найдем

Вынесем постоянный множитель за знак интеграла, вычтем и прибавим в числителе 5, затем выполним почленное деление числителя на знаменатель и воспользуемся пятым свойством интеграла:

Для вычисления первого интеграла используем третье свойство интегралов, а второй интеграл представим в виде, удобном для применения формулы IX:

Пример 16. Найдем

Отметим, что показатель степени переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе (что характерно для производной), а значит, в числителе можно сконструировать дифференциал знаменателя. Найдем дифференциал выражения, стоящего в знаменателе:

d(x² - 5)=(х² -5)'dx=2xdx.

Для получения в числителе дифференциала знаменателя не хватает постоянного множителя 2. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 2 и вынесем постоянный множитель -

за знак интеграла

Здесь мы использовали II табличный интеграл.

Рассмотрим подобную же ситуацию в следующем примере.

Пример 17. Найдем

Вычислим дифференциал знаменателя:

Создадим его в числителе с помощью четвертого свойства интегралов:

Более сложная подобная ситуация будет рассмотрена в примере 19.

Пример 18, Найдем

Выделим в знаменателе полный квадрат:

Получим

После выделения полного квадрата в знаменателе мы получили интеграл, близкий по виду к формулам VIII и IX таблицы интегралов, но в знаменателе формулы VIII слагаемые полные квадраты имеют одинаковые знаки, а в знаменателе нашего интеграла знаки слагаемых различны, хотя и не совпадают со знаками девятой формулы. Добиться полного совпадения знаков слагаемых в знаменателе со знаками в формуле IX удается вынесением коэффициента (-1) за интеграл. Итак, чтобы применить формулу IX таблицы интегралов, проведем следующие мероприятия:

1) вынесем (-1) за скобки в знаменателе и затем за интеграл;

2) найдем дифференциал выражения

;

3) создадим в числителе найденный дифференциал;

4) представим число 2 в виде, удобном для применения формулы IX таблицы:

Тогда

Используя IX формулу таблицы интегралов, получим

Пример 19. Найдем

Используя опыт, приобретенный при отыскании интегралов в предыдущих двух примерах, и полученные в них результаты, будем иметь

Обобщим некоторый опыт, полученный в результате решения примеров 17,18,19.

Итак, если мы имеем интеграл вида

(пример 18), то, выделив полный квадрат в знаменателе, можно прийти к одной из табличных формул VIII или IX.

Интеграл же вида

(пример 19) после создания в числителе производной знаменателя распадается на два интеграла: первый – вида

(пример 17), берущийся по формуле П, и второй —вида

(пример 18), берущийся по одной из формул VIII или IX.

Пример 20. Найдем

Интеграл вида

можно свести к виду табличных формул X или XI, выделив в подкоренном выражении полный квадрат. В нашем случае

Подкоренное выражение имеет вид выражения

, где .

Для применения формулы XI в числителе должен стоять дифференциал

;

поэтому следует создать его, домножив числитель и знаменатель дроби на число 4:

Пример 21. Найдем теперь

Используя опыт предыдущих примеров, создадим в числителе дифференциал знаменателя и разобьем интеграл на два, вынеся ненужные числовые коэффициенты за интегралы:

Первый интеграл перепишем в виде степенного (т.е. в виде ), a второй был уже взят нами в предыдущем примере, поэтому

Пример 22. Найдем

Так как sin x является производной выражения (-соs x), то, отделив под интегралом одну степень sin x , легко можно создать дифференциал функции cos x: