Формы записи приближенных чисел

Приближенные числа записываются либо в виде конечных десятичных дробей, либо в виде целых чисел.

Определение 1. Естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи конечной десятичной дроби называется следующая запись

. (1)

Пример 1. .

Замечание 1. Определение естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи целого числа дается аналогично.

Если в левой части равенства (1) несколько первых цифр =0, то соответствующие слагаемые в правой части этого равенства писать смысла нет.

Пример 2. .

В связи с этим имеет место следующее определение.

Определение 2. Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 3. У числа 5142,39 все цифры значащие.

Пример 4. У числа 0,0046 только две значащих цифры: 4 и 6.

Пример 5. У числа 0,004600 четыре значащих цифры: 4, 6 и два последних нуля. (Для чего оставляют нули в конце числа, будет рассмотрено позднее).

Если приходится работать с большим количеством приближенных чисел, то запись не удобна. Поэтому решено было установить такой способ записи приближенных чисел, чтобы по самой этой записи можно было судить об их абсолютной (предельной абсолютной) погрешности.

Определение 3. Цифра приближенного числа называется верной в широком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в широком смысле.

Пример 6. Пусть . Определим верные и сомнительные в широком смысле цифры приближенного числа . Заметим, что , . Т.к. , то цифра 7верная в широком смысле. Т.к. , то цифра 1 верная в широком смысле. Т.к. , то цифра 5 верная в широком смысле. Т.к. , то цифра 8 сомнительная в широком смысле.

Определение 4. Цифра приближенного числа называется верной в узком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в узком смысле.

Пример 7. Определим верные и сомнительные в узком смысле цифры приближенного числа 7,158 из предыдущего примера. Т.к. , то цифра 7 верная в узком смысле. Т.к. , то цифра 1 верная в узком смысле. Т.к. , то цифра 5 сомнительная в узком смысле. Очевидно, что цифра 8 также сомнительная в узком смысле.

Замечание 2. Если приближенное число записывается без указания его абсолютной (предельной абсолютной) погрешности, то выписываются только верные его цифры (в узком или широком смысле). При этом верные нули в конце числа не отбрасываются. Поэтому числа 0,0344 и 0,03440 как приближенные различны: у первого , у второго .

Замечание 3. При записи целых приближенных чисел сомнительные цифры принято заменять нулями.

Пример 8. Известно, что у приближенного числа последние две цифры сомнительные в узком смысле. Поэтому правильно его записать так: . Нули означают, что последние две цифры – сомнительные.

В связи с рассмотренным примером возникает следующий вопрос: «Как отличить приближенное число 34200 с двумя последними сомнительными нулями от точного числа 34200?»

Определение 5. С плавающей точкой формой записи приближенного числа называется следующая запись:

. (2)

В этом случае называется мантиссой числа, - порядком, - характеристикой числа.

Если число - приближенное, то его записывают в виде (2), оставляя в мантиссе лишь верные цифры, т. е. так: .

Определение 6. Если , то запись (2) называется нормализованной формой числа.

Определение 7. Если , то запись (2) называется стандартной формой числа.

Пример 9. В нормализованной форме число запишется так: , в стандартной так: .

Нормализованная форма используется для представления чисел в памяти компьютера (калькулятора), стандартная - для вывода чисел на экран компьютера (калькулятора), если оно не умещается на нем.